Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．

（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；

（3）求证：BC2＝4CEAB．

Answer 1

【答案】（1）EF与⊙O相切，见解析；（2）DE＝；（3）见解析

【解析】

（1）连接AD，OD，证明OD是△ABC的中位线，得出OD∥AC．由已知条件证得EF⊥OD，即可得出结论；

（2）根据勾股定理求出AD，再由三角形面积计算即可；

（3）由（1）得CD＝BC，AD⊥BC，证明△CDE∽△CAD，得出，则CD2＝CEAB，即可得出结论．

（1）EF与⊙O相切，理由如下：

连接AD，OD，如图所示：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC．

∴CD＝BD＝BC．

∵OA＝OB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC．

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD．

∴EF与⊙O相切．

（2）解：由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝8．

∵SACD＝ADCD＝ACDE，

∴×8×6＝×10×DE．

∴DE＝．

（3）证明：由（1）得：CD＝BC，AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵EF⊥AC，

∴∠DEC＝90°＝∠ADC，

∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴,

∴CD2＝CEAC，

∵AB＝AC，

∴BC2＝CEAB，

∴BC2＝4CEAB．