Question

16．如图1，平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连CE，点M、N为CE上两点，且BM∥DN，

（1）求证：△BCM∽∠DEN；
（2）如图2，连DM并延长交AB于F，若BF=2AF，求$\frac{DM}{MF}$的值；
（3）在（2）的条件下，连BN，求S_△BFM：S_{四边形BMDN}的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得出∠DEN=∠BCM，∠END=∠CMB，即可得出结论，
（2）先判断出BM=2DN，再取BF、BM的中点H、Q，连接HQ、AQ，则HQ是三角形的中位线，所以MF=2QH，根据BF=2AF，得出AF=HF，得出PF是△AQH的中位线，得出QH=2PF，MF=2QH=4PF，PM=3PF，同理：求得DM=PM=3PF，即可求得$\frac{DM}{MF}$的值；
（3）连接BD，作BH⊥DN于H，先求得$\frac{{S}_{△BDM}}{{S}_{△BMF}}=\frac{3}{4}$，得出S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM，进而得出$\frac{{S}_{△BDN}}{{S}_{△BDM}}=\frac{\frac{1}{2}DN•BH}{\frac{1}{2}BM•BH}$=$\frac{DN}{BM}=\frac{1}{2}$，得出S_△BDM=2S_△BDN，从而得出S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，即可求得$\frac{{S}_{△BFM}}{{S}_{四边形BMDN}}$的值，

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEN=∠BCM，
又∵BM∥DN，
∴∠END=∠CMB，
∴△EDN∽△CBM，

﹙2﹚∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$CB，
由（1）知，△EDN∽△CBM，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DN}{BM}=\frac{1}{2}$，
∴BM=2DN；
如图2，取BF、BM的中点H、Q，连接HQ、AQ，
∵BQ=MQ，BH=HF，
∴QH∥DF，
∴MF=2QH，
∵BF=2AF，
∴AF=HF，
∴PF是△AQH的中位线，
∴QH=2PF，
∴MF=2QH=4PF，
∴PM=3PF，
同理：EM是△ADP的中位线，
∴DM=PM=3PF，
∴$\frac{DM}{MF}=\frac{3PF}{4PF}=\frac{3}{4}$．

（3）如图3，连接BD，作BH⊥DN于H，
∵BM∥DN，
∴BH⊥BM，
∵$\frac{DM}{MF}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△BDM}}{{S}_{△BMF}}=\frac{3}{4}$，
∴S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM，
∵BM∥DN，
∴$\frac{{S}_{△BDN}}{{S}_{△BDM}}=\frac{\frac{1}{2}DN•BH}{\frac{1}{2}BM•BH}$=$\frac{DN}{BM}=\frac{1}{2}$，
∴S_△BDM=2S_△BDN，
∴S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，
∴S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM=$\frac{8}{3}$S_△BDN，
∴$\frac{{S}_{△BFM}}{{S}_{四边形BMDN}}$=$\frac{\frac{8}{3}{S}_{△BDN}}{3{S}_{△BDN}}$=$\frac{8}{9}$．

点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，三角形相似的判定和性质，以及三角形的面积等，解（2）的关键是判断出BM=2DN，解（3）的关键是S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM，是一道中等难度的中考常考题．