Question

9．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，CD⊥BE于点D，连接AD，若BE=10，则AD的长是5．

Answer 1

分析 延长BA、CD相交于点F，根据同角的余角相等求出∠F=∠AEB，再利用“角角边”求出△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BE，再利用“角边角”证明△BCD和△BFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=$\frac{1}{2}$CF．

解答 解：如图，延长BA、CD相交于点F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BE，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∠ABE+∠F=90°，
∴∠F=∠AEB，
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AEB}\\{∠BAE=∠CAF=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴CF=BE=10，
∵BE平分∠ABC，
∴∠BCD=∠DBF，
在△BCD和△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠DBF}\\{BD=BD}\\{∠BDC=∠BDF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△BFD（ASA），
∴CD=DF，
又∵∠CAF=∠BAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$×10=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．