Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB为斜边向△ABC外作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，取AB的中点M，连接MD，ME分别交AC、BC于点P、Q，直线PQ分别交AD、BE于点F、G．有以下结论：①△MDE是等腰直角三角形；②PQ=PF+QG；③△APF∽△EQG；④S_△ACD+S_△BCE=S_△ABC．
其中正确的是①②③．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 ①连接CM，如图1，
先根据直角三角形斜边中线的性质得：AM=CM=BM，利用SSS证明△MAD≌△MCD，则∠MDC=∠ADM=45°，同理得：∠MEC=45°，所以△MDE是等腰直角三角形；
②如图2，作平行线CH，先证明△AFP≌△CHP，得PH=PF，则HQ=GQ，可得结论；
③根据两角对应相等证明两三角形相似；
④设AC=b，BC=a，AB=c，代入三角形面积公式计算可得：S_△ADC+S_△BCE-S_△ABC=$\frac{1}{4}（a-b）^{2}$≥0，
当a=b时，S_△ACD+S_△BCE＞S_△ABC，作出判断．

解答 解：①连接CM，如图1，
∵∠ACB=90°，AB的中点M，
∴AM=CM=BM，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，AD=CD，BE=CE，
∠ACD=∠BCE=45°，
∴∠ACD+∠ACB+∠BCE=45°+90°+45°=180°，
∴D、C、E三点共线，
∵DM=DM，
∴△MAD≌△MCD（SSS），
∴∠MDC=∠ADM=45°，
同理得：∠MEC=45°，
∴∠DME=90°，
∴△MDE是等腰直角三角形；
故①正确；
②如图2，过C作CH∥AD，
∵AD∥BE，
∴CH∥AD∥BE，
∴∠AFP=∠HCP，
由①知：∠ADP=∠CDP，
∵AD=CD，
∴AP=CP，
∵∠APF=∠CPH，
∴△AFP≌△CHP，
∴PH=PF，
同理可得：HQ=GQ，
∴PQ=PH+HQ=PF+GQ；
故②正确；
③∵AD∥BE，
∴∠AFP=∠EGQ，
∵∠DAC=∠QEG=45°，
∴△AFP∽△EGQ，
故③正确；
④设AC=b，BC=a，AB=c，
易得S_△ADC=$\frac{1}{4}$b²，S_△BCE=$\frac{1}{4}{a}^{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab，
∴S_△ADC+S_△BCE-S_△ABC=$\frac{1}{4}（a-b）^{2}$≥0，
当a=b时，S_△ACD+S_△BCE＞S_△ABC，
故④不正确；
综上所述，①②③正确；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了三角形相似和全等的性质和判定，勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定，有难度，恰当地作出辅助线是关键，熟练掌握相似三角形的判定方法：常运用两角对应相等的两三角形相似．