Question

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE。
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积。

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A， 又∵OC⊥AD， ∴∠OFA=90°， ∴∠AOC+∠BAD=90°， ∴∠C=∠BAD， 又∵∠BED=∠BAD， ∴∠C=∠BED；
（2）由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=， ∴tan∠C=， 在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5， ∴， 解得；
（3）∵OC⊥AD， ∴， ∴， 又∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠EDA， ∴， ∴AE=BD， ∴AE=BD=DE， ∴， ∴∠BAD=30°， 又∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD=AB=5，DE=5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=， 过点D作DH⊥AB于H， ∵∠HAD=30°， ∴DH=AD=， ∴四边形AEDB的面积=。