Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．

（1）求证：∠DOC＝2∠G．

（2）已知⊙O的半径为3．

①若BE＝2，则DA＝　 　．

②当BE＝　 　时，四边形DOCF为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②3．

【解析】

（1）根据切线的性质可得∠ODB＝90°，再根据平行线的判定可得OD∥CG，进而得到∠G＝∠ODE，因为OD＝OE，所以∠OED＝∠ODE，最好根据圆周角为圆心角的一半即可得证；

（2）①利用勾股定理求得BD=4，由（1）知，OD∥CG，可得△BOD∽△BCA，再根据相似三角形的的性质求解即可；

②如图，连接DF，OF，根据菱形的性质可得DF＝CF＝OC＝OD＝3，进而可得△ODF为等边三角形，即∠ODF＝60°，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得AF=，进而可得AC＝，由（2）知△BOD∽△BCA，再根据相似三角形的的性质求解即可.

（1）证明：∵AB为⊙O的切线，

∴OD⊥AB，

∴∠ODB＝90°，

∴∠BAC＝∠ODB＝90°，

∴OD∥CG，

∴∠G＝∠ODE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∵∠DOC＝∠ODE+∠OED，

∴∠DOC＝2∠ODE＝2∠G；

（2）解：①在Rt△BOD中，

OD＝3，OB＝OE+BE＝5，

∴BD＝＝4，

由（1）知，OD∥CG，

∴△BOD∽△BCA，

∴，

即，

∴AD＝，

故答案为：；

②如下图，连接DF，OF，

当四边形DOCF为菱形时，

DF＝CF＝OC＝OD＝3，

∵OF＝3，

∴△ODF为等边三角形，

∴∠ODF＝60°，

∴∠ADF＝90°﹣∠ODF＝30°，

在Rt△DAF中，DF＝3，

∴AF＝3×＝，

∴AC＝CF+AF＝，

由（2）知，∴△BOD∽△BCA，

∴，

即，

∴BE＝3，

故答案为：3．