题目内容
4．
已知在平面直角坐标系中，直线y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$与x轴，y轴相交于A、B两点，直线y=$\sqrt{3}$x与AB相交于C点，点D从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动到点A，过点D作x轴的垂线，分别交直线y=$\sqrt{3}$x和直线y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$于P，Q两点（P点不与C点重合），以PQ为边向左作正△PQR，设点D的运动时间为t（秒）（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点M（2，3$\sqrt{3}$）正好在△PQR的某边上，直接写出t的值．
分析 （1）令y=0，可求A点的横坐标；令x=0，可求B点的横坐标；直线y=$\sqrt{3}$x与直线y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$联立可求C点坐标；
（2）本题只需考虑点M（2，3$\sqrt{3}$）正好在△PQR的某边上，求出t的取值即可．
解答 解：（1）令y=0，则0=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$，
解得：x=6，
故A点坐标为（6，0）；
令x=0，则y=-$\sqrt{3}$×0+6$\sqrt{3}$，
解得：y=6$\sqrt{3}$，
∴B点的坐标为：（0，6$\sqrt{3}$）；
∵直线y=$\sqrt{3}$x与AB相交于C点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+6\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴点C的坐标为（3，3$\sqrt{3}$）；
（2）∵P在直线y=$\sqrt{3}$x上，
∴tan∠POD=$\frac{PD}{OD}=\sqrt{3}$，
∴∠POD=60°，∠OPD=30°
∵OD=t，
∴PD=$\sqrt{3}$t，
∵Q在直线y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$上，
∴DQ=-$\sqrt{3}t+6\sqrt{3}$，
当M在QP上，如图1，
∵PD⊥x轴，OD=t，
∵M（2，3$\sqrt{3}$），
∴t=2，
当M在RQ上，如图2，过M作MN⊥PQ于N，
∵△PQR是等边三角形，
∴∠MQN=60°，
∴△MQN∽△PDO，
∴$\frac{MN}{PD}=\frac{QN}{OD}$，
∴$\frac{t-2}{\sqrt{3}t}=\frac{-\sqrt{3}t+6\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{t}$，
∴t=$\frac{11}{4}$，
当M在RP上时，如图3，过M作ME⊥PQ于E，
同理△MPE∽△POD，
∴$\frac{ME}{PD}=\frac{PE}{OD}$，
∴$\frac{2-t}{\sqrt{3}t}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{t}$，
∴t=$\frac{7}{2}$．
综上所述：点M（2，3$\sqrt{3}$）正好在△PQR的某边上，t的值为2，$\frac{11}{4}$，$\frac{7}{2}$．
点评 本题考查了解二元一次方程组求点的坐标，根据三角函数值求角的度数，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
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