Question

如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过点A（4,0）B（-4，-4），且与y轴交于点C．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）证明：∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；

（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点 P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x²+x+2；（2）证明见解析；（3）（-1，-）与（-3，-）．

【解析】（1）∵点A（4，0）与B（-4，-4）在二次函数图像上，

∴，解得，∴二次函数解析式为y=-x²+x+2．

（2）过B作BD⊥x轴于点D，由（1）得C（0，2）

在Rt△AOC中，tan∠CAO===，  

在Rt△ABD中，tan∠BAD= ==，

∵tan∠CAO= tan∠BAD ，∴∠CAO=∠BAD

（3）由A（4，0）与B（-4，-4），可得直线AB的解析式为y=x-2，

设P（x，x-2），（＜＜4），则Q（x，-x²+x+2），

∴PH=|x-2|=2-x QH=|-x²+x+2|．

∴2-x =2|-x²+x+2|

当2-x =-x²+x+4， 解得 x₁=-1，x₂=4（舍去），∴P（-1，-）

当2-x =x²-x-4， 解得x₁=-3，x₂=4（舍去），∴P（-3，-）

综上所述，存在满足条件的点，它们是（-1，-）与（-3，-）．