Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接OC.

(1) 判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2) 若BE=，DE=3，求⊙O的半径及AC的长．

Answer 1

【答案】（1）DC是⊙O的切线，理由见解析；（2）半径为1，AC=

【解析】

（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得，推出r=1，可得OE=2，即有，可推出，则利用勾股定理和含有30°的直角三角形的性质，可求得OC=2，，再利用勾股定理求出即可解决问题；

（1）证明：∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，

∴△OCB≌△OCD（SSS），

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切线；

（2）解： 设⊙O的半径为r．

在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，

∴，

∴

∴OE=3-1=2

Rt△ABC中，

∴

∴

Rt△BCO中,,

Rt△ABC中,