Question

10．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．
求证：（1）DE=DF；
（2）DE⊥DF．

Answer 1

分析 （1）首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，即可；
（2）利用（1）的结论，可得出结论．

解答 证明：（1）如图，连接CD．
∵BC=AC，∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°，
∴∠A=∠FCD，
在△ADE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF
（2）由（1）知，△ADE≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF．
∴∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，
即DE⊥DF

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件，难度一般．