Question

2．观察下列各式：
①（x²-1）÷（x-1）=x+1；
②（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1；
③（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1；
④（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1；
…
（1）若（x^m-1）÷（x-1）=x²⁰¹⁴+x²⁰¹³+…+x+1，请写出m的值；
（2）写出（xⁿ-1）÷（x-1）的结果；
（3）求值：①1+2+2²+…+2²⁰¹⁴；
②1+（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 （1）根据已知的式子中被除数与除数中x的次数的关系即可求解；
（2）根据已知的式子中被除数与除数中x的次数的关系即可直接求解；
（3）①把所求的式子作为已知中式子的商，乘以除数（2-1），即可求得被除数；
②设S=1+（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）²⁰¹⁴=1-2+2²-2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴，则2S=2-2²+2³-2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁵，两个式子相加即可求得S的值．

解答 解：（1）m=2014+1=2015；
（2）（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1；
（3）①1+2+2²+…+2²⁰¹⁴=（2²⁰¹⁵-1）÷（2-1）=2²⁰¹⁵-1；
②设S=1+（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）²⁰¹⁴=1-2+2²-2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴，
则2S=2-2²+2³-2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁵，
两式相加得：3S=1+2²⁰¹⁵，
则S=$\frac{1+{2}^{2015}}{3}$．

点评 本题考查了整式的除法，正确理解被除数、除数以及商的关系是解题的关键．