题目内容
【题目】如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2，点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动。设Q点运动的时间为
(秒)，在整个运动过程中,求解下面问题:
（1）当P、Q相遇时，求出的值(列方程解决问题)；
（2）当△APQ的面积为
时，此时t的值是_________；
（3）当△APQ为直角三角形时,直接写出相应的的值或取值范围.
【答案】（1 t=3；（2）1或
；（3）t=2或0<t≤
.
【解析】
（1）设t秒后相遇，根据相遇时共走了12个单位的路程列方程求解；
（2）分两种情形分别构建方程即可解决问题；
（3）由题意可得当0＜x≤，△AQM是直角三角形，当 ＜x＜2时△AQM是锐角三角形，当x=2时，△AQM是直角三角形，当2＜x＜3时△AQM是钝角三角形．
解：（1）设t秒后相遇，由题意得
t+3t=12,
∴t=3.
（2）由题意：当P、Q分别在AD、AB上时，
t3t=
，解得t=或-1（舍弃），
当P、Q都在CD上时，
×（12-4t）×2=，解得t=，
综上所述，t=1或时，△APQ的面积为．
（3）当点P在AB上时，点Q在AD上时，此时△APQ为直角三角形，则0＜x≤；
当点P在BC上时，点Q在AD上时，此时△APQ为锐角三角形，则＜x＜2；
当点P在C处，此时点Q在D处，此时△APQ为直角三角形，则x=2时；
当点P在CD上时，点Q在DC上时，此时△APQ为钝角三角形，则2＜x＜3．
当△APQ为直角三角形时，相应的t的值或取值范围：0＜x≤或x=2．
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