Question

如图，抛物线y=ax²-4ax+5交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于D点，连接AD．

（1）求线段CD的长；
（2）若S_△ACD=4S_△AOC，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，P，Q为线段AD上两点（P左Q右，P，Q不与A，D重合），PQ=

2

，分别过P，Q作y轴的平行线，分别交抛物线于M，N两点，当线段PQ在AD上移动时，是否存在这样的位置，使四边形PQNM的形状为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出C点的坐标，进而求得D点的坐标，即可求得CD的长．
（2）根据已知条件求得OA的长，进而求得A点的坐标，代入抛物线y=ax²-4ax+5即可求得a的值，从而求得解析式．
（3）先求得直线AB的解析式，根据已知条件，设出P、Q、M、N的坐标，得出PM．NQ所表示的式子，根据平行四边形的对边相等即可求得．

解答：解：（1）如图1，当x=0时，y=5，
∴C（O，5）
又∵CD∥x轴，
∴C、D两点具有相同的纵坐标5
当y=5时，ax²-4ax+5=5
∴x₁=0，x₂=4
∴D（4，5）
∴线段CD的长为4；

（2）如图1，S_△ACD=

1

2

CD•OC=10，
∵S_△ACD=4S_△AOC
∴S_△AOC=10×

1

4

=

5

2

∴OA=1
∴A（-1，O）
代入y=ax²-4ax+5，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5；

（3）如图2，设直线AD的解析式为y=kx+b，
则 

0=-k+b 5=4k+b

∴

k=1 b=1

∴直线AB的解析式为y=x+1
∴∠DAB=45°，
又∵PQ=

2

∴设P（x，x+1），则有Q（x+1，x+2），M（x，-x²+4x+5），N（x+1，-x²+2x+8）
∴PM=-x²+3x+4，NQ=-x²+x+6，
当四边形PQNM为平行四边形时，PM=NQ
∴-x²+3x+4=-x²+x+6，
∴x=1
∴P（1，2）
∴存在这样的点P，当P（1，2）时四边形PQNM为平行四边形．

点评：本题考查了线段的求法，勾股定理的应用，待定系数法求解析式以及平行四边形的性质等．