Question

18．已知点M（0，1），N是抛物线y=x²-1上的一个动点，设MN=d，则d的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 设N（x，x²-1），作NA⊥y轴于A，则OA=x²-1，AN=x，MA=OM-OA=2-x²，由勾股定理和二次函数的最值得出d²的最小值=$\frac{7}{4}$，得出d有最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$即可．

解答 解：设N（x，x²-1），
作NA⊥y轴于A，如图所示：
则OA=x²-1，AN=x，
∴MA=OM-OA=2-x²，
由勾股定理得：d²=MN²=MA²+AN²=（2-x²）²+x²=x⁴-3x²+4=（x²-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
当x²=$\frac{3}{2}$时，d²的最小值=$\frac{7}{4}$，
∴d的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键．