Question

20．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，连接AD，BD．过点B作⊙O的切线BC交AD的延长线于点C，E为BC的中点，连接DE并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若EF=2DE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC=90°，根据BE=EC知∠1=∠3、由OD=OB知∠2=∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°，得证；
（2）由sin∠F=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{1}{2}$知∠F=30°，在Rt△ODF中，根据OD=DFtan∠F可得答案．

解答 解：（1）如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∵BE=EC，
∴DE=EC=BE，
∴∠1=∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠4=90°，
又∵∠2=∠4，
∴∠1+∠2=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）∵EF=2DE=4，
∴DE=BE=2，
在Rt△BEF中，∵sin∠F=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠F=30°，
∴在Rt△ODF中，OD=DFtan∠F=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
即⊙O的半径为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查切线的判定与性质及直角三角形的性质、圆周角定理及三角函数的应用，掌握圆周角定理和切线的性质和判定是解题的关键．