Question

5．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的取值范围是$\sqrt{2}$≤AB≤2．

Answer 1

分析 先证明△AOE≌△DOF，进而得到OE=OF，此为解决该题的关键性结论；求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图所示：
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
在△COA和△DOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCA=∠ODB}\\{OC=OD}\\{∠AOC=∠DOB}\end{array}\right.$，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA=OB，
设OA=OB=a，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB²=OA²+OB²=2a²，
由题意可得：1≤a≤$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤AB≤2，
故答案为$\sqrt{2}$≤AB≤2．

点评 该题以正方形为载体，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等几何知识点的应用问题；牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点，是灵活解题的基础和关键．