Question

19．如图，直线AB分别交x轴，y轴于点A（-4，0），B（0，3），点C为y轴上的点，若以点C为圆心，CO长为半径的圆与直线AB相切时，则点C的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

Answer 1

分析 设C（0，t），作CH⊥AB于H，如图，利用勾股定理计算出AB=5，利用切线的性质得CH=OC，讨论：当t＞3时，BC=t-3，CH=t，证明△BHC∽△BOA，利用相似比可计算出t=-12，舍去；当0＜t＜3时，BC=3-t，CH=t，同样证明△BHC∽△BOA，利用相似比计算出t=$\frac{4}{3}$，当t＜0时，BC=3-t，CH=-t，同样证明△BHC∽△BOA，利用相似比计算出t=-12，从而得到C点坐标．

解答 解：设C（0，t），作CH⊥AB于H，如图，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=5，
∵以点C为圆心，CO长为半径的圆与直线AB相切，
∴CH=OC，
当t＞3时，BC=t-3，CH=t，
∵∠CBH=∠ABC，
∴△BHC∽△BOA，
∴CH：OA=BC：BA，即t：4=（t-3）：5，解得t=-12（舍去）
当0＜t＜3时，BC=3-t，CH=t，同样证明△BHC∽△BOA，
∴CH：OA=BC：BA，即t：4=（3-t）：5，解得t=$\frac{4}{3}$，
当t＜0时，BC=3-t，CH=-t，同样证明△BHC∽△BOA，
∴CH：OA=BC：BA，即-t：4=（3-t）：5，解得t=-12，
综上所述，C点坐标为（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．
故答案为（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．也考查了坐标与图形性质和分类讨论思想的应用．