如图1.菱形纸片ABCD的边长为2.∠ABC=60°.翻折∠B.∠D.使点B.D两点重合于对角线BD上一点P.EF.GH分别是折痕．设AE=x.给出下列判断:①当x=1时.点P是菱形ABCD的中心,②当x=$\frac{1}{2}$时.EF+GH＞AC,③当0＜x＜2时.六边形AEFCHG面积的最大值是$\frac{11\sqrt{3}}{4}$,④当0＜x＜2时.六边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；
②当x=$\frac{1}{2}$时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是$\frac{11\sqrt{3}}{4}$；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确结论是①④．（填序号）

分析先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x=1时，求出BP=$\frac{1}{2}$BD，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x赋予的值，即可求出EF，GH，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④正确．

解答解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，
∵∠ABC=60°，
∴AC=AB=2，BD=2$\sqrt{3}$，
由折叠知，△BEF是等边三角形，
当x=1时，则AE=1，
∴BE=AB-AE=1，
由折叠知，BP=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$BD，
∴点P是菱形ABCD的对角线的交点，
即：点P是菱形ABCD的中心，所以①正确，
如图，

∵AE=x，
∴BE=AB-AE=2-x，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=2-x，
∴BM=$\sqrt{3}$EM=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x），
∴BP=2BM=$\sqrt{3}$（2-x），
∴DP=BD-BP=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$（2-x）=$\sqrt{3}$x，
∴DN=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴GH=2GN=2×$\frac{1}{2}$x=x，
当x=$\frac{1}{2}$时，AE=$\frac{1}{2}$，
∴BE=AB-AE=$\frac{3}{2}$，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=$\frac{3}{2}$，BP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GH=DG=$\frac{1}{2}$，
∴EF+GH=2=AC，所以②错误；

当0＜x＜2时，
∵AE=x，
∴BE=2-x，
∴EF=2-x，
∴BP=$\sqrt{3}$（2-x），
∴DP=$\sqrt{3}$x，
∴GH=2×$\frac{x}{2}$=x=DG=DH，
∴六边形AEFCHG面积=S_菱形ABCD-S_△BEEF-S_△DGH
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²
=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴当x=1时，六边形AEFCHG面积最大为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，所以③错误，
六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG
=x+2-x+x+2-x+x+2-x=6是定值，
所以④正确，即：正确的有①④，
故答案为①④．