Question

6．如图，射线OC以∠AOB的边OB为始边进行逆时针旋转，作OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，在射线OC旋转过程中，试探究∠DOE与∠BOC的大小关系．
（1）当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，则∠DOE=45度．
（2）设∠AOB=90°，∠BOC=n．
①当0＜n＜90°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
②当90°＜n＜360°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
（3）设∠AOB=a，∠BOC=n，其中0＜a＜180°，在射线OC旋转过程中，请直接写出∠DOE的度数（可用含有a，n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD；
（2）①结合角的特点，∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；②分三种情况讨论：当90°＜n≤180°时，当180°＜n≤270°时，当270°＜n＜360°，分别求得∠DOE的度数；
（3）根据（2）中方法进行分类讨论，即可得出∠DOE的度数．

解答 解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠COB=30°，∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
故答案为：45°；

（2）①∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；
②分三种情况：
当90°＜n≤180°时，∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE-∠DOC
=$\frac{1}{2}$∠BOC-$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠BOC-∠AOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；
当180°＜n≤270°时，∠DOE的大小不变，等于135°，
理由：如图所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE+∠DOC
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOC）
=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）
=$\frac{1}{2}$×270°
=135°；
当270°＜n＜360°时，∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE
=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC
=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；

（3）在射线OC旋转过程中，∠DOE的度数为$\frac{1}{2}$a或180°-$\frac{1}{2}$a．
理由：当0＜n≤180°时，∠DOE=$\frac{1}{2}$a；
当180°＜n≤180°+a时，∠DOE=180°-$\frac{1}{2}$a；
当180°+a＜n＜360°时，∠DOE=$\frac{1}{2}$a；
综上所述，∠DOE的度数为$\frac{1}{2}$a或180°-$\frac{1}{2}$a．

点评 本题主要考查了角的和差关系的运用以及角平分线的定义的运用，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．