Question

（2012•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3的顶点为M（2，-1），交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；
（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM²+PB²+PC²=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，将已知的两点坐标代入其中进行求解即可．
（2）由C、B两点的坐标不难判断出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BE⊥x轴交CD于E，结合“直线CD和直线CA关于直线CB对称”可得出A、E关于直线BC对称，结合点B的坐标以及AB的长即可得到点E的坐标，在明确C、E两点坐标的情况下，直线CD的解析式即可由待定系数法求得．
（3）先设出点P的坐标，而M、B、C三点坐标已知，即可得到PM²、PB²、PC²的表达式，结合题干的已知条件即可求出点P的坐标，从而进一步判断出直线OP与抛物线的交点个数．

解答：解：（1）将M（2，-1）、B（3，0）代入抛物线的解析式中，得：

4a+2b+3=-1 9a+3b+3=0

，
解得

a=1 b=-4

．
故抛物线的解析式：y=x²-4x+3．

（2）由抛物线的解析式知：B（3，0）、C（0，3）；
则△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．
过B作BE⊥x轴，交直线CD于E（如右图），则∠EBC=∠ABC=45°；
由于直线CD和直线CA关于直线CB对称，所以点A、E关于直线BC对称，则BE=AB=2；
则E（3，2）．
由于直线CD经过点C（0，3），可设该直线的解析式为 y=kx+3，代入E（3，2）后，得：
3k+3=2，k=-

1

3

故直线CD的解析式：y=-

1

3

x+3．

（3）设P（2，m），已知M（2，-1）、B（3，0）、C（0，3），则：
PM²=（2-2）²+（m+1）²=m²+2m+1，PB²=（3-2）²+（0-m）²=m²+1，PC²=（0-2）²+（3-m）²=m²-6m+13；
已知：PM²+PB²+PC²=35，则：m²+2m+1+m²+1+m²-6m+13=35，化简得：3m²-4m-20=0
解之得：m₁=-2，m₂=

10

3

；
则P₁（2，-2）、P₂（2，

10

3

）
当点P坐标为（2，

10

3

）时，由图可知，直线OP与抛物线必有两个交点；
当点P坐标为（2，-2）时，直线OP：y=-x，联立抛物线的解析式有：
x²-4x+3=-x，即 x²-3x+3=0
△=（-3）²-4×3＜0，
故该直线与抛物线没有交点；
综上，直线OP与抛物线的解析式有两个交点．

点评：这道二次函数综合题考查的内容较为常见，主要涉及到：函数解析式的确定、轴对称图形的性质、坐标系两点间的距离公式以及函数图形交点坐标的求法等知识，着重基础内容的考查．