Question

（2012•贵港）如图，在?ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．

Answer 1

分析：（1）连接AE、BD、根据AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案；
（2）在BC上截取BN=AB=1，连接AN，推出△ANB是等边三角形，求出CN=1=AN，根据三角形的内角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，根据△AGB∽△CGE，得出

BG

GE

=

AB

CE

=

AG

CG

，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根据平行四边形BDEA求出BF，即可求出答案．

解答：（1）证明：连接BD、AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AF=DF．

（2）解：在BC上截取BN=AB=1，连接AN，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB是等边三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=

1

2

×60°=30°，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AC=

22-12

=

3

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AGB∽△CGE，
∴

BG

GE

=

AB

CE

=

AG

CG

，
∴

1

1+1

=

AG

3 -AG

，
AG=

3

3

，
在△BGA中，由勾股定理得：BG=

12+( 3 3 )2

=

2 3

3

，
∵

BG

GE

=

1

2

，
∴GE=

4 3

3

，
BE=

4 3

3

+

2 3

3

=2

3

，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BF=

1

2

BE=

3

，
∴FG=

3

-

2 3

3

=

3

3

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．