Question

【题目】如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点

（1）求证：是等腰三角形；

（2）如图，过点作，交于点，连接交于点

①判断四边形的形状，并说明理由；

②若，，求的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①菱形，见解析，②

【解析】

（1）证明△BDF是等腰三角形，可证明BF=DF，可通过证明∠EBD=∠FDB实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决；
（2）①先判断四边形BFDG是平行四边形，再由（1）BF=FD得到结论；
②要求FG的长，可先求出OF的长，在Rt△BFO中，BO可由AB、AD的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出BF的长．在Rt△BFA中，知AB=6、AF+BF=AD=8，可求出BF的长，问题得以解决．

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

由折叠的性质可知：∠EBD=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，

∴BF=FD

∴△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，

① 四边形是菱形.

理由：∵FD∥BG,DG∥BE，

∴四边形BFDG是平行四边形，

又∵BF=DF，

∴四边形BFDG是菱形；

② 设AF=x，则FD=8x，

∴由折叠性质得BF=FD=8x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

解得：，

∴FD=，

在Rt△ABD中，∵AB=6，AD=8，

∴BD=10

∵四边形BFDG是菱形，

∴OD=BD=5,FO=FG，FG⊥BD，

在Rt△ODF中，

∵，即,

∴FO=，

∴FG=2FO=,

故答案为：.

的长为.