Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连接AB并延长交⊙O₂于点C，连接O₂C．如果AB•BC=16，O₂C=5，则tan∠AO₁O₂的值为（　　）

• A．

  15

  8

• B．

  5

  3

• C．

  5

  4

• D．

  15

  13

Answer 1

分析：延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD，由题意可知三角形AO₁O₂为直角三角形，所以要求tan∠AO₁O₂的值只要求出AO₁的值问题得解．

解答：解：延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD．
∵O₁A为切线，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；
∵BD是⊙O₁直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，

O2B

AB

=

BC

BD

，
∴AB•BC=O₂B•BD又BD=2BO₁，
∴AB•BC=2O₂B•BO₁．
∵∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
∴

AO2

DO2

=

O2B

O2A

，
∴AO²₂=O₂B•O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴O₂C²=O₂B•O₂D①，
又∵AB•BC=O₂B•BD②，
由①-②得O₂C²-AB•BC=O₂B²即5²-16=O₂B²，
∴O₂B=3又O₂B•BD=AB•BC=16，
∴BD=

16

3

，
∴2AO₁=BD=

16

3

，
∴AO₁=

8

3

，
∴tan∠AO₁O₂=

AO 2

AO 1

=

5

8 3

=

15

8

，
故选A．

点评：本题主要考查了两圆相交的性质、切线的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质，此题比较繁琐，综合性很强，做题时应该细心．