Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过A作⊙O₁的切线交⊙O₂于E，连接EB并延长交⊙O₁于C，直线CA交⊙O₂于点D．
（1）当A、D不重合时，求证：AE=DE
（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O₁的直径．

Answer 1

分析：（1）通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O₂的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O₁的弦切角，因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；
（2）DA重合时，CA与圆O₂只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O₁和⊙O₂的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC²=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O₁的直径是4．

解答：解：（1）证明：连接AB，在EA的延长线上取一点F，作⊙O₁的直径AM，连接CM，
则∠ACM=90°，
∴∠M+∠CAM=90°，
∵AE切⊙O₁于A，
∴∠FAM=∠EAM=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O₂的内接四边形ABED的外角，
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED．

（2）当D与A重合时，直线CA与⊙O₂只有一个公共点，
∴直线AC与⊙O₂相切，
∴CA，AE分别是⊙O₁和⊙O₂的直径，
∴由切割线定理得：AC²=BC•CE，
∴AC=4．
答：⊙O₁直径是4．

点评：本题考查了切线的性质，相切两圆的性质，等腰三角形的判定，弦切角定理，切割线定理等知识点的综合应用，题目综合性比较强，难度适中，通过左此题培养了学生的推理能力．