题目内容

如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过A作⊙O1的切线交⊙O2于E,连接EB并延长交⊙O1于C,直线CA交⊙O2于点D.
(1)当A、D不重合时,求证:AE=DE
(2)当D与A重合时,且BC=2,CE=8,求⊙O1的直径.
分析:(1)通过证角相等来证边相等.连接AB,那么ABED就是圆O2的内接四边形,根据内接四边形的性质,∠ABC=∠D,那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证,我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O1的弦切角,因此∠DAE=∠ABC,由此便可求出∠DAE=∠D,根据等角对等边也就得出本题要求的结论了;
(2)DA重合时,CA与圆O2只有一个交点,即相切.那么CA,AE分别是⊙O1和⊙O2的直径(和切线垂直弦必过圆心),根据切割线定理AC2=CB•CE,即可得出AC=4,即圆O1的直径是4.
解答:解:(1)证明:连接AB,在EA的延长线上取一点F,作⊙O1的直径AM,连接CM,
则∠ACM=90°,
∴∠M+∠CAM=90°,
∵AE切⊙O1于A,
∴∠FAM=∠EAM=90°,
∴∠FAC+∠CAM=90°,
∴∠FAC=∠M=∠ABC,

即∠FAC=∠ABC,
∵∠FAC=∠DAE,
∴∠ABC=∠DAE,
而∠ABC是⊙O2的内接四边形ABED的外角,
∴∠ABC=∠D,
∴∠DAE=∠D,
∴EA=ED.

(2)当D与A重合时,直线CA与⊙O2只有一个公共点,
∴直线AC与⊙O2相切,
∴CA,AE分别是⊙O1和⊙O2的直径,
∴由切割线定理得:AC2=BC•CE,
∴AC=4.
答:⊙O1直径是4.
点评:本题考查了切线的性质,相切两圆的性质,等腰三角形的判定,弦切角定理,切割线定理等知识点的综合应用,题目综合性比较强,难度适中,通过左此题培养了学生的推理能力.
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