题目内容
如图,已知⊙O1与⊙O2的半径分别为r1,r2,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,且两圆相交于A,B两点,C为⊙O2上的点,连接AC交⊙O1于D点,再连接BC,BD,AO1,AO2,O1O2,有如下四个结论:①∠BDC=∠AO1O2;②BD |
BC |
r1 |
r2 |
分析:①延长O2O1交圆O1于M,连接AB、AM、BM、O2B,根据相交两圆的性质推出O2O1是AB的垂直平分线,得出∠AO1O2=
∠AO1B=∠AMB,根据圆内接四边形的性质得出∠AMB=∠BDC,即可判断;②证△BDC∽△AO1O2即可;③无法证出BD=DC,即可判断③;④由△BDC∽△AO1O2,得出∠O2AO1=∠DBC,∠BDC=∠AO1O2,根据等腰三角形的性质得出∠BDC=∠CBD即可.
1 |
2 |
解答:解:延长O2O1交圆O1于M,连接AB、AM、BM、O2B,
∵圆O1与圆O2交于A、B,
∴O2O1是AB的垂直平分线,
∵O1A=O1B,
∴∠AO1O2=
∠AO1B=∠AMB,
∵四边形AMBD是圆O1的内接四边形,
∴∠AMB=∠BDC,
∴①正确;
∵O1A=O1B,
∴∠C=
∠AO2B=∠AO2M,∠AO1O2=∠AMB,
∴△BDC∽△AO1O2,
∴
=
,
∴②正确;
∵△BDC∽△AO1O2,
∴∠O2AO1=∠DBC,∠BDC=∠AO1O2,
∵O2A=O2B,
∴∠AO1O2=∠O2AO1,
∴∠DBC=∠BDC,
∴DC=BC,∴④正确;
无法证出∠C=∠DBC,
即BD≠DC,
∵AD=BD,
∴③错误.
故答案为:①②④.
∵圆O1与圆O2交于A、B,
∴O2O1是AB的垂直平分线,
∵O1A=O1B,
∴∠AO1O2=
1 |
2 |
∵四边形AMBD是圆O1的内接四边形,
∴∠AMB=∠BDC,
∴①正确;
∵O1A=O1B,
∴∠C=
1 |
2 |
∴△BDC∽△AO1O2,
∴
r1 |
r2 |
BD |
BC |
∴②正确;
∵△BDC∽△AO1O2,
∴∠O2AO1=∠DBC,∠BDC=∠AO1O2,
∵O2A=O2B,
∴∠AO1O2=∠O2AO1,
∴∠DBC=∠BDC,
∴DC=BC,∴④正确;
无法证出∠C=∠DBC,
即BD≠DC,
∵AD=BD,
∴③错误.
故答案为:①②④.
点评:本题主要考查对相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,相交两圆的性质,圆的内接四边形的性质,圆周角定理,线段的垂直平分线性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行证明是证此题的关键,题型较好,难度适中.
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