Question

18．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am²+bm；④若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2．其中正确的有①②③④．

Answer 1

分析 根据二次函数的图象开口向下推出a＜0，根据二次函数的图形与y轴的交点在y轴的正半轴上推出c＞0，根据二次函数的图象的对称轴是直线x=1得出-$\frac{b}{2a}$=1，求出b=-2a＞0，即可判断①②；根据抛物线的最大值y=a+b+c，得到a+b+c＞am+bm+c（m≠1），即可判断③；根据对称点求得对称轴为x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，即可求得x₁+x₂=2，即可判断④．

解答 解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图形与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
b=-2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，开口向下，
∴函数的最大值y=a+b+c，
∴a+b+c＞am+bm+c（m≠1），
∴a+b＞am+bm，故③正确；
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，
∴对称轴为x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，
∴x₁+x₂=2，故④正确．
故答案为①②③④．

点评 本题考查了二次函数的图象和系数的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意用了数形结合思想，二次函数的图象开口方向决定a的符号，抛物线有最大值，二次函数的图形与y轴的交点位置决定c的符号，根据二次函数的图象的对称轴是直线x=1得出-$\frac{b}{2a}$=1．