Question

12．如图，当四边形ABCD的内部有一个点P₁时，最多可以把四边形ABCD剪成4个三角形，当四边形ABCD内部有两个点P₁，P₂时，最多可以把四边形剪6个三角形；
（1）当四边形ABCD的内部有3个点P₁、P₂、P₃时，最多可把它剪成8个三角形；
（2）当四边形ABCD的内部有10个点P₁…P₁₀时，最多可把它剪成22个三角形；
当四边形ABCD内部有n个点P₁…P_n时，最多可以把它剪成2（n+1）个三角形；
（3）最多可以把四边形ABCD剪成2016个三角形吗？若能，求出四边形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由；
（4）若设四边形ABCD的内部分别有1个点时，最多可以把四边形ABCD剪成S₁个三角形；有2个点时，最多可以把四边形ABCD剪成S₂个三角形；…有100个点时，最多可以把四边形ABCD剪成S₁₀₀个三角形；求S₁+S₂+…+S₁₀₀的值．

Answer 1

分析 根据四边形中1个点时，最多分割成的三角形的个数是4，四边形中2个点时，最多分割成的三角形的个数是4+2×1，四边形中3个点时，最多分割成的三角形的个数是4+2×2，得出规律即可，
（1）根据规律即可得出结论；
（2）根据规律即可得出结论；
（3）假设可以，建立方程求解，最后判断即可；
（4）先列出式子，再求和即可．

解答 解：∵四边形中1个点时，最多分割成的三角形的个数是4，
四边形中2个点时，最多分割成的三角形的个数是4+2×1，
四边形中3个点时，最多分割成的三角形的个数是4+2×2，
四边形中4个点时，最多分割成的三角形的个数是4+2×3，
…，
∴四边形中n个点时，最多分割成的三角形的个数是4+2（n-1）=2n+2=2（n+1），
（1）当四边形ABCD的内部有3个点时，n=3，
∴2（n+1）=2（3+1）=8，
故答案为8；
（2）当四边形ABCD的内部有10个点时，n=10，
∴2（n+1）=2（10+1）=22，
故答案为22；
（3）最多可以把四边形ABCD剪成2016个三角形，
假设最多可以把四边形ABCD剪成2016个三角形，
∴2（n+1）=2016，
∴n=1007，
∴四边形ABCD内部有1007个点；
（4）根据题意得，S₁=4，S₂=4+2×1，S₃=4+2×2，S₄=4+2×3，S₅=4+2×4，S₁₀₀=4+2×99，
∴S₁+S₂+…+S₁₀₀=4+（4+2×1）+（4+2×2）+（4+4×3）+…+（4+2×99）
=4×100+（2×1+2×2+2×3+2×4+…+2×99）
=400+2（1+2+3+4+…+99）
=400+2×$\frac{99×（1+99）}{2}$
=400+9900
=10300．

点评 此题是图形的变化类问题，根据数据的变化规律，结合图形，总结出每增加一个点，三角形的个数最多增加2的规律是解题的关键．