Question

如图，点B是函数y=

1

x

和y=x的图象在第一象限的交点，点E在函数y=

1

x

的图象上，过B、E两点作x轴的垂线，垂足分别为C、F，直线EF与直线y=x交于点D．试判断DF+EF与2BC的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：先解方程组

y=x y= 1 x

得到B点坐标（1，1），则BC=1；然后设D的坐标为（a，a），a≠1，则E点的横坐标为a，利用E在函数y=

1

x

图象上得到E点坐标为（a，

1

a

），得到DF=|a|，EF=|

1

a

|，根据|a|+|

1

a

|=（|a|-|

1

a

|）²+2＞2，即可得到DF+EF＞2BC．

解答：解：DF+EF＞2BC．理由如下：
联立

y=x y= 1 x

，解得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

，
∴点B的坐标为（1，1），
∴BC=1；
设D的坐标为（a，a），a≠1，
∵EF⊥x轴，
∴E点的横坐标为a，
把x=a代入y=

1

x

=

1

a

，
∴E点坐标为（a，

1

a

），
∴DF=|a|，EF=|

1

a

|，
∴|a|+|

1

a

|=（|a|-|

1

a

|）²+2＞2，
∵a≠1，
∴（|a|-|

1

a

|）²＞0，
∴|a|+|

1

a

|＞2，
∴DF+EF＞2BC．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；两图象的交点坐标就是由两个图象的解析式所组成的方程组的解．也考查了一次函数以及代数式的变形能力．