Question

如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C．
（1）求证：CD是半圆的切线；
（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为x，点A到直线CD的距离为y，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据切线的性质，由BM切半圆于B得∠OBC=90°，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，即AD⊥BD，而OC∥AD，则OC⊥BD，于是可判断OC垂直平分BD，得到CD=CB，所以∠3=∠4，易得∠2+∠4=∠1+∠3=90°，即∠ODC=90°，然后根据切线得判定定理得到CD是半圆的切线；
（2）作AH⊥CD于H，如图，则AH=y，证明Rt△ABD∽Rt△ADH，利用相似比得x：y=4：x，则y=

1

4

x²（0＜x＜4）．

解答：（1）证明：∵BM切半圆于B，
∴OB⊥BM，
∴∠OBC=90°，
∵AB是半圆（圆心为O）的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴OC平分BD，即OC垂直平分BD，
∴CD=CB，
∴∠3=∠4，
而∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：作AH⊥CD于H，如图，则AH=y，
∵OD⊥CD，
∴∠5+∠ADO=90°，
而∠2+∠ADO=90°，∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴Rt△ABD∽Rt△ADH，
∴AD：AH=AB：AD，即x：y=4：x，
∴y=

1

4

x2（0＜x＜4）．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．