Question

13．正方形ABCD中，点P在射线BE上，∠APM=90°，CM平分∠DCE．
（1）如图1，当P在BC上时，求证：∠MPC+∠E=45°；
（2）如图2，当P在BC的延长线上时，且BC=2PC，ME⊥BC的延长线于点E，探究四边形ABEM的面积与△APM的面积之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）在BA上截取BP=BN，连接PN．只要证明△APN≌△PMC，即可推出PA=PM，可得△PAM是等腰直角三角形，推出∠AMP=∠MPE+∠E=45°；
（2）结论：$\frac{{S}_{△APM}}{{S}_{四边形ABEM}}$=$\frac{13}{25}$．设PC=a，首先证明△APB≌△PME，分别求出△APM，四边形ABEM的面积即可解决问题；

解答 （1）证明：在BA上截取BP=BN，连接PN．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠B=∠BCD=∠DCE=90°，
∵BN=BP，
∴AN=PC，∠BNP=45°，
∵CM平分∠DCE，
∴∠MCE=45°，
∴∠ANP=∠PCM=135°，
∵∠APM=90°，
∴∠APB+∠CPM=90°，
∵∠APB+∠BAO=90°，
∴∠PAN=∠CPM，
∴△APN≌△PMC，
∴PA=PM，
∴△PAM是等腰直角三角形，
∴∠AMP=∠MPE+∠E=45°，
即：∠MPC+∠E=45°；


（2）解：结论：$\frac{{S}_{△APM}}{{S}_{四边形ABEM}}$=$\frac{13}{25}$．
理由：如图2中，

同法可证△APM是等腰直角三角形，
∴PA=PM，
∵∠APM=∠B=∠E=90°，
∴∠APB+∠MPE=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠PAB=∠MPE，
∴△APB≌△PME，设PC=a，则BC=2a，
在Rt△ABP中，PA²=（2a）²+（3a）²=13a²，
∴S_△PAM=$\frac{1}{2}$PA²=$\frac{13}{2}$a²，
S_{四边形ABEM}=2•$\frac{1}{2}$•3a•2a+$\frac{13}{2}$a²=$\frac{25}{2}$a²，
∴$\frac{{S}_{△APM}}{{S}_{四边形ABEM}}$=$\frac{\frac{13}{2}{a}^{2}}{\frac{25}{2}{a}^{2}}$=$\frac{13}{25}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．