Question

如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm．
（1）若点P是边AD上的一个动点，则点P在什么位置时，PA=PC？
（2）在（1）中，点P满足PA=PC，且Q是AB边上的一个动点，当AQ=

15

4

cm时，QP与PC垂直吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）设PA=x，表示出PD的长度，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）根据勾股定理求出PQ²，PC²，CQ²，然后利用勾股定理逆定理进行解答．

解答：解：（1）设PA=xcm，则PD=（8-x）cm，
∵PA=PC，
∴PC=xcm，
在Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²，
x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，
∴PA=5cm；

（2）垂直，连接QP、QC，
则PQ²=5²+（

15

4

）²=25+

225

16

，
CQ²=8²+（4-

15

4

）²=64+

1

16

，
∴PQ²+PC²=25+

225

16

+25=50+14+

1

16

=64+

1

16

，
∴PQ²+PC²=CQ²，
∴当AQ=

15

4

cm时，QP与PC垂直．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，作出图形，分别表示出各直角三角形的边是解题的关键．