Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长．

Answer 1

分析：求证△DEC≌△BAC，得DE=AB，再求证DF=DE即可解此题．

解答：解：∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AC，
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC≌△BAC中，

BC=DC ∠C=∠C ∠ABC=∠EDC

，
∴△DEC≌△BAC，
即AB=DE，∠DEB=30°，
∴∠FED=60°，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
AB=

AC2-BC2

=2

3

．
答：DF的长为2

3

．

点评：本题考查了等腰三角形各边均相等，考查了矩形内角均为直角的性质，本题中求证△DEF是等边三角形是解题的关键．