Question

如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．
（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；
（2）求证：△ABF≌△DEC；
（3）求证：四边形BCEF是矩形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的判定

专题：

分析：（1）解直角三角形即可求出答案；
（2）根据平行线性质求出∠A=∠D，根据SAS推出两三角形全等即可；
（3）根据全等三角形的性质得出BF=CE，∠AFB=∠DCE，求出∠BFC=∠ECF，推出BF∥EC，根据平行四边形的判定推出四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的判定推出即可．

解答： （1）解：∵∠CEF=90°．
∴cos∠ECF=

CE

CF

．
∵∠ECF=30°，CF=8．
∴CF=CF•cos30°=8×

3

2

=4

3

；

（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF和△DEC中

AB=DE ∠A=∠D AF=DC

∴△ABF≌△DEC  （SAS）；

（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，
∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠CEF=90°，
∴四边形BCEF是矩形．

点评：本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，综合运用性质定理进行推理是解此题的关键，难度适中．