Question

1．某乡间公路有一斜坡AB的坡角为24°36′（即∠BAH=24°36′），斜坡AB的长为100m，路面BC是一段平路，现政府决定把斜坡AB改造成了坡角为12°的斜坡路AE（如图）．
（1）求斜坡路AE垂直高度（即EH的长）；
（2）坡路AE比坡路AB增加了多少米？（有关三角函数值用计算器计算，或直接用sin24°36′=0.416，cos24°36′=0.9092，tan24°36′=0.4578，sin12°=0.208，cos12°=0.978，tan12°=0.213，最后结果保留整数）

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥AH于D，则EH=BD．在Rt△ABD中利用AB长和∠BAD的正弦函数值即可求得BD长；
（2）解Rt△AEH，求出AE的长度，再计算AE-AB即可．

解答 解：（1）如图，过点B作BD⊥AH于D，则EH=BD．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=24°36′，AB=100m，
∴BD=AB×sin∠BAD=100×0.416=41.6（m），
∴EH=BD≈42m．
即斜坡路AE垂直高度约为42m；

（2）在Rt△AEH中，∵∠AHE=90°，∠EAH=12°，EH=41.6m，
∴AE=$\frac{EH}{sin∠EAH}$=$\frac{41.6}{0.208}$=200（m），
∴AE-AB=200-100=100（m），
即坡路AE比坡路AB增加了100米．

点评 本题考查了解直角三角形的运用，锐角三角函数的运用，坡度坡角的应用．解答时运用三角函数的定义求解是关键．