Question

6．如图，在直角坐标系中，点A（12，0），点C在y轴正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{4}$，过点C作CE⊥BC交x轴于点E，以CE为边在第一象限构造正方形CEFG，过点A作AD⊥x轴交直线BC于点D．记OC=3t，解答下列问题：
（1）用关于t的代数式表示AD的长度；
（2）当点E在线段OA（不含端点）上时，记四边形AECD的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）以AD为直径作⊙P．
①当正方形CEFO的一边所在直线与⊙P相切时，求出所有满足条件的t的值；
②当点P在正方形CEFG内部且刚好落在对角线上时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，由OC∥AD，可得$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OB}{BA}$，即$\frac{3t}{AD}$=$\frac{4t}{4t+12}$，由此推出AD=3t+9．
（2）由△BOC∽△COE，可得OC²=BO•OE，推出EO=$\frac{9}{4}$t，由题意0＜$\frac{9}{4}$t＜12，推出0＜t＜$\frac{16}{3}$．构建S=S_梯形AOCD-S_△COE计算即可．
（3）①分三四种情形分别讨论，想办法构建方程解决问题．
②分两种情形构建一次函数解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{4}$，OC=3t，
∴OB=4t，
∵AD⊥AB，OC⊥AB，
∴OC∥AD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OB}{BA}$，
∴$\frac{3t}{AD}$=$\frac{4t}{4t+12}$，
∴AD=3t+9．

（2）如图1中，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠BCO+∠OCE=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠OCE=∠CBO，∵∠BOC=∠EOC，
∴△BOC∽△COE，
∴OC²=BO•OE，
∴EO=$\frac{9}{4}$t，
由题意0＜$\frac{9}{4}$t＜12，
∴0＜t＜$\frac{16}{3}$．
∴S=S_梯形AOCD-S_△COE=$\frac{1}{2}$•（3t+3t+9）•12-$\frac{1}{2}$•$\frac{9}{4}$t•3t=-$\frac{27}{8}$t²+36t+54．（0＜t＜$\frac{16}{3}$）．

（3）①a、如图2中，当直线GF与⊙P相切时，作PH⊥CD于H，

由△PHD∽△BOC可得，DH=$\frac{3}{10}$（3t+9），易知CE=$\frac{15}{4}$t，CD=15，
∴HC-CG=$\frac{1}{2}$（3t+9），
∴15-$\frac{3}{10}$（3t+9）-$\frac{15}{4}$t=$\frac{1}{2}$（3t+9），
解得t=$\frac{156}{123}$s．
当直线CE与⊙P相切时，CH=PA，则有15-$\frac{3}{10}$（3t+9）=$\frac{1}{2}$（3t+9），
解得t=$\frac{39}{12}$s，

b、如图3中，当⊙P与GF相切时，

易知PH是梯形DGFA的中位线，
∴PH=$\frac{DG+AF}{2}$，
∴$\frac{3t+9}{2}$=$\frac{\frac{15}{4}t-15+\frac{15}{4}t}{2}$，
解得t=$\frac{11}{7}$s，

c、如图4中，当⊙P与EF相切时，设切点为H，连接HP，延长HP交CD于K．

根据PA=PH，PH+PK=CE，
可得$\frac{3t+9}{2}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{3t+9}{2}$=$\frac{15}{4}$t，
解得t=$\frac{162}{21}$s．
综上所述，当t=$\frac{156}{123}$s或$\frac{39}{12}$s或$\frac{11}{7}$s或$\frac{162}{21}$s时，⊙P与正方形CEFO的一边所在直线与⊙P相切．

②a、如图5中，当点P在对角线CF上时，作FH⊥OA于H．

易证△EOC≌△FHE，
∴FH=OE=$\frac{9}{4}$t，EH=OC=3t，
∴F（$\frac{21}{4}$t，$\frac{9}{4}$t），
∴直线CF的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x+3t，
把P（12，$\frac{3t+9}{2}$）代入直线CF的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x+3t，
得$\frac{3t+9}{2}$=-$\frac{12}{7}$+3t，
解得t=$\frac{87}{31}$s．

b、如图6中，当点P在对角线DE上时．

∵EG⊥CF，
∴直线EG的解析式为y=7x-$\frac{63}{4}$t，
把P（12，$\frac{3t+9}{2}$）代入直线EG的解析式为y=7x-$\frac{63}{4}$t，
得$\frac{3t+9}{2}$=84-$\frac{63}{4}$t，
解得t=$\frac{106}{23}$s．
综上所述，当t=$\frac{87}{31}$s或$\frac{106}{23}$s时，点P在正方形CEFG内部且刚好落在对角线上．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、梯形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解或构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．