Question

2．如图，线段AC、BD交于点M，过B、D两点分别作AC的垂线段BF、DE，AB=CD
（1）若∠A=∠C，求证：FM=EM；
（2）若FM=EM，则∠A=∠C．是真命题吗？（直接判断，不必证明）

Answer 1

分析 （1）由条件可先证明△ABF≌△CDE，可得BF=DE，再证明△BFM≌△DEM，可得到FM=EM；
（2）由条件可先证明△BFM≌△DEM，可得BF=DE，再证明△ABF≌△DEM，可得∠A=∠C．

解答 （1）证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{∠AFB=∠CED}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
在△BFM和△DEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEM}&{\;}\\{∠BMF=∠DME}&{\;}\\{BF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△DEM（AAS），
∴FM=EM；
（2）解：真命题；理由如下：
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFM=∠DEM=90°，
在△BFM和△DEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∩DEM}&{\;}\\{FM=EM}&{\;}\\{∠BMF=∠DMF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△DEM（ASA），
∴BF=DE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BF=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴∠A=∠C．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL