Question

12．如图，在Rt△MNP中，∠N=60°，MN=3，NP=6，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD沿边MN→NP进行翻滚，直到正方形有一个顶点与P重合即停止滚动，正方形在整个翻滚过程中，点A所经过的路线与Rt△MNP的两边MN、NP所围成的图形的面积是（　　）

• A． $\frac{7π}{3}$+2
• B． 2π+2
• C． $\frac{7π}{3}$
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 第一次翻滚：绕D，点A围成的扇形是圆心角是90°，半径是1；
第二次翻滚：绕C，点A围成的图形是扇形和两个三角形，扇形是圆心角是90°，半径是$\sqrt{2}$，两个等腰直角三角形组成一个边长为1的正方形；
第三次翻滚：绕B，点A围成的扇形是圆心角是210°，半径是1；
第四次翻滚：绕A，点A不动；
第五次翻滚：绕D，点A围成的扇形是圆心角是90°，半径是1；
…
依次重复，直到第八次翻滚结束．

解答 解：如图，
点A所经过的路线与Rt△MNP的两边MN、NP所围成的图形的面积：
S=$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$×3+$\frac{90π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$×2+$\frac{210π×{1}^{2}}{360}$+2
=$\frac{π}{4}$×3+$\frac{π}{2}$×2+$\frac{7π}{12}$+2
=$\frac{7π}{3}$+2．

点评 本题考查了点的轨迹的问题，考查了正方形的性质和翻滚的性质，正方形的边长相等，且每一个角都是90°，熟练掌握扇形面积公式：S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$（n是圆心角的度数，R是扇形的半径）；此类点的轨迹题比较难，关键是正确画出图形，有空间想象能力，动手操作，得出结论．