Question

19．如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE．
（1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明．
（2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）CE是圆O的切线．欲证明CE是圆O的切线，只需推知∠OCE=90°即可；
（2）可以，此时∠AOC=60°．根据已知条件可以推知△COF与△BOF为等边三角形，则四边形OCFB的四条边相等：OC=CF=FB=OB，故四边形OCFB是菱形．

解答 （1）解：CE是圆O的切线．理由如下：
连接OC，则OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵点E与点D关于BC对称，
∴∠BCE=∠BCD．
又CD⊥AB，
∴∠BCD+∠OBC=∠BCE+∠OCB=90°，即∠OCE=90°，
又∵点C在半圆O上，
∴CE是圆O的切线．

（2）解：可以，此时∠AOC=60°．理由如下：
连接OF．
∵∠AOC=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∵点E与点D关于BC对称，
∴∠CBF=∠OBC=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠OBF=60°，
∵OC=OF=OB，
∴△COF与△BOF为等边三角形，
∴OC=CF=FB=OB，
∴四边形OCFB是菱形．

点评 本题考查了切线的判定，菱形的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．