Question

如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P．过P作PH⊥OA于H，设I为△OPH的内心，
（1）求∠PIO的度数；
（2）连结AI、AP，请你猜想△API是什么样的特殊三角形，并证明你的结论；
（3）当点P从点A运动到点B时，请你画出内心I所经过的路径l，并直接写出l的长度．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）根据I是三角形的角平分线的交点，和三角形的内角和定理求解；
（2）连接AI，证明△OPI≌△OAI即可证得；
（3）如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得∠APO=180°-135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=

2

2

OA=

2

2

×2=

2

，然后利用弧长公式计算弧OA的长．

解答：解：（1）∵I是△OPH的内心，则PI和OI是∠HPO和∠POH的角平分线，
∴∠OPI+∠POI=

1

2

（∠HPO+∠POH）=

1

2

×90°=45°，
∴∠PIO-180°-45°=135°；
（2）连接AI（如图1）．
在△OPI和△OAI中，

OP=OA ∠POI=∠AOI OI=OI

，
∴△OPI≌△OAI，
∴AI=PI，即△API是等腰三角形；
（3）如图，连OA'、OI，PI（如图2），
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH）=180°-

1

2

（180°-90°）=135°，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO取点P，连PA，PO，
∵∠AIO=135°，
∴∠APO=180°-135°=45°，
∴∠AOO=90°，而OA=2cm，
∴O′O=

2

2

OA=

2

2

×2=

2

，
∴弧OA的长=

90π 2

180

=

2 π

2

（cm），
所以内心I所经过的路径弧OA长为

2 π

2

cm．

点评：本题考查了弧长的计算公式：l=

nπR

180

，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．