题目内容

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部△CDG是等腰三角形，固定点E为AB的中点．GE最大高度为3米，△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．设MN到AB之间距离为x米（0≤x≤3）
（1）x＞1时，MN=
 
（用x表示）；
（2）试将△EMN的面积y（平方米）表示成关于x的函数；  
（3）请你探究y有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
考点：二次函数的应用
专题：
分析：（1）利用△MNG∽△DCG，得出
MN
DC
=
GH
GF
，得出答案即可；
（2）本题要分情况解答（0＜x≤1；1＜x＜1+
3
）．当0＜x≤1时，可直接得出三角形的面积函数，当1＜x＜1+
3
，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出三角形面积函数
（3）本题也要分两种情况解答：当MN在矩形区域滑动时以及当MN在三角形区域滑动时），利用二次函数的性质解答．
当MN在矩形区域滑动时，S=x，可直接由图得出取值范围
当MN在三角形区域滑动时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值
解答：解：（1）∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG，
MN
DC
=
GH
GF
，
∴MN=
2(
3
+1-x)
3
；
（2）分两种情况：
①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，
△EMN的面积S=
1
2
×2×x=x；
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+
3
时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=
3
．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG，
MN
DC
=
GH
GF
，
∴MN=
2(
3
+1-x)
3
，
故△EMN的面积S=
1
2
×
2(
3
+1-x)
3
×x=-
3
3
x2+（1+
3
3
）x．
综合可得：S=
x，(0＜x≤1)
-
3
3
x2+(1+
3
3
)x．(1＜x＜1+
3
)
；

（3）分两种情况：
①当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，S=x，
∵S随x的增大而增大，
又∵0＜x≤1，
∴当x=1时，S有最大值1；
②当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+
3
时，S=-
3
3
x2+（1+
3
3
）x，
∴当x=-
1+
3
2
=时，S有最大值，此时最大值S=
-(1+
3
3
)2
4×(-
3
3
)
=
1
2
+
3
3
．
∵
1
2
+
3
3
＞1，
∴S有最大值，最大值为（
1
2
+
3
3
）平方米．
点评：本题考查的是二次函数的实际运用．要注意结合图形，利用数形结合解答函数问题．
练习册系列答案
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2
3
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