Question

9．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=2，MN=4，BN=2$\sqrt{3}$，则点M、N是线段AB的勾股分割点；（填“是”或“不是”）
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AB=12，AM=5，求BN的长；
（3）如图2，P、Q是等腰Rt△ABC斜边AB的勾股分割点，PQ＞AP，PQ＞BQ，求∠PCQ的度数．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理逆定理即可判断．
（2）设BN=x，则MN=12-AM-BN=7-x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM²=MN²+BN²，②当MN为最大线段时，依题意MN²=AM²+NB²，③当BN为最大线段时，依题意BN²=AM²+MN²，分别列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，把△CBQ绕点C顺时针旋转90°，得△ACR，连结RP，只要证明△PCR≌△PCQ得到

解答 解：（1）是．
理由：∵AM²+BN²=2²+（2$\sqrt{3}$）²=16，MN²=4²=16，
∴AM²+NB²=MN²，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故答案为是．

（2）设BN=x，则MN=12-AM-BN=7-x，
①当AM为最大线段时，依题意AM²=MN²+BN²，
即x²+（7-x）²=25，解得x=3或4，
②当MN为最大线段时，依题意MN²=AM²+NB²，
即（7-x）²=x²+25，解得x=$\frac{12}{7}$，
③当BN为最大线段时，依题意BN²=AM²+MN²．
即x²=25+（7-x）²，解得x=$\frac{37}{7}$，
综上所述BN的长为3或4或$\frac{12}{7}$或$\frac{37}{7}$．
（3）如图2中，把△CBQ绕点C顺时针旋转90°，得△ACR，连结RP．

则∠CAR=∠CBQ=45°，
∴∠RAP=90°，
∴AP²+AR²=PR²，
∵AR=BQ，
∴AP²+BQ²=PR²，
∵P、Q是AB的勾股分割点，
∴AP²+BQ²=PQ²，
∴PR=PQ，
在△PCR和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{CR=CQ}\\{PR=PQ}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PCR≌△PCQ，
∴∠PCQ=∠PCR，
∵∠PCQ+∠PCR=90°，
∴∠PCQ=45°．

点评 本题参考三角形综合题、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，学会利用旋转添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．