Question

3．正三角形的边长为a，其内切圆的内接正方形的面积为（　　）

• A． $\frac{{a}^{2}}{24}$
• B． $\frac{{a}^{2}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$a²
• D． $\frac{{a}^{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质求得其等边三角形的边心距，即是正方形的半径，再根据正方形的性质求得正方形的边长，进一步求出其面积．

解答 解：等边△ABC的边长为a，
∵点O为△ABC的内心，
∴OE⊥AB，AE=BE=$\frac{a}{2}$，∠EAO=30°，
∴OE=AE•tan∠EAO=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
则正方形的边长是2OE•cos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a．
则正方形的面积是：$\frac{1}{6}$a²．
故选：B．

点评 此主要考查了正多边形和圆，正确构造一个由正多边形的边心距、半径和半边组成的直角三角形是解题关键．