Question

3．已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根
（2）当方程的根都为整数时，求整数m的值；
（3）设二次函数y=mx²-（3m+2）x+2m+2（m＞0），将此二次函数的图象向下平移2个单位，若其与x轴的一个交点恰好落在（3，0）和（4，0）之间，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证；
（2）利用因式分解法求得方程的两个根，结合方程的根是整数、m是整数进行解答；
（3）设二次函数的图象向下平移2个单位，若其与x轴的一个交点为（x₁，0），（x₂，0），根据交点在（3，0）和（4，0）之间，于是得到$\left\{\begin{array}{l}{（3-{x}_{1}）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（4{-x}_{2}）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{（x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（{x}_{2}-4）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-2m}{m}＞0}\\{\frac{6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m-6}{m}＞0}\\{\frac{-6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$解不等式组即可得到结果．

解答 （1）证明：△=b²-4ac=（3m+2）²-4m（2m+2）=（m+2）²，
∵m＞0，（m+2）²＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵mx²-（3m+2）x+2m+2=（x-1）（mx-2m-2）=0，
∴x₁=1，x₂=2+$\frac{2}{m}$，
∵方程的根都为整数，
∴m=1，或2；

（3）设二次函数的图象向下平移2个单位，若其与x轴的一个交点为（x₁，0），（x₂，0），
∵交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（3-{x}_{1}）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（4{-x}_{2}）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{（x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（{x}_{2}-4）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-2m}{m}＞0}\\{\frac{6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m-6}{m}＞0}\\{\frac{-6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$
解得：$-\frac{4}{3}$＜m＜3，
∴m的取值范围是：$-\frac{4}{3}$＜m＜3．

点评 本题考查一元二次方程根的判别式、二次函数的图象及函数图象的平移，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．