Question

13．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO=90°，∠AOB=30°，AB=$\sqrt{3}$．
（1）则点A的坐标为（3，$\sqrt{3}$）．（直接写答案，不需证明）
（2）若C点坐标为（$\frac{1}{2}$，0）时，P为OA上一动点，求PC+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数即可求得；
（2）过点C作C关于OA的对称点C′，连接BC′与OA相交，根据轴对称确定最短路线问题BC′与OA的交点即为所求的点P，PB+PC的最小值=BC′，过点C′作C′D⊥OB于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出BD，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：（1）在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO=90°，∠AOB=30°，AB=$\sqrt{3}$．
∴tan30°=$\frac{AB}{OB}$，
∴OB=$\frac{AB}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$3，
∴A（3，$\sqrt{3}$），
故答案为（3，$\sqrt{3}$）．
（2）如图，过点C作C关于OA的对称点C′，连接BC′与OA相交，
则BC′与OA的交点即为所求的点P，PB+PC的最小值=BC′，
过点C′作C′D⊥OB于D，
∵点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），且∠AOB=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$，CC′=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∠OCC′=90°-30°=60°，
∴CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，C′D=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵顶点A的坐标为（3，$\sqrt{3}$），点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），∠ABO=90°，
∴BC=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴BD=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{4}$，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，BC′=$\sqrt{（\frac{11}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
故PC+PB的最小值为$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PC的最小值的线段是解题的关键．