Question

4．为了探究代数式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（{9-x}）}^2}+1}$的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=9，设BC=x．则$AC=\sqrt{{x^2}+4}$，$CE=\sqrt{{{（{9-x}）}^2}+1}$，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（{9-x}）}^2}+1}$的最小值等于，3$\sqrt{10}$，此时x=6；
（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值及对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点．在Rt△AEF中运用勾股定理计算求解．
（2）由$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$=$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$可知作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=5，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值．

解答 解：（1）如图1，过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，
根据题意，四边形BDEF为矩形．
AF=AB+BF=2+1=3，EF=BD=9．
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．
即AC+CE的最小值是3$\sqrt{10}$．
$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（{9-x}）}^2}+1}$=3$\sqrt{10}$，
∵EF∥BD，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{9}$，
解得：x=6．
故答案为3$\sqrt{10}$、6．
（2）如图2，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=5+3=8，AF=DB=12．
∴AE=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$．
即AC+CE的最小值是4$\sqrt{13}$．
∴$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值为4$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．