Question

5．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位后，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上．请求出a，k的值和直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得以P，G，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x轴于点N，先根据HL定理得出Rt△CNA≌Rt△AOB，再由全等三角形的性质即可得出d的值；
（2）设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$，点C′和B′在该比例函数图象上，设C′（E，2），则B′（E+3，1）把点C′和B′的坐标分别代入y=$\frac{k}{x}$可得出E的值，进而得出反比例函数的解析式，再用待定系数法求出直线C′B′的解析式即可；
（3）可以分成CG是平行四边形的一边和对角线两种情况进行讨论．

解答 解：（1）作CN⊥x轴于点N．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{NC=OA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△CNA≌Rt△AOB．
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且点C在第二象限，
∴d=-3；
（2）设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$，点C′和B′在该比例函数图象上，设C′（m，2），则B′（m+3，1）
把点C′和B′的坐标分别代入y=$\frac{k}{x}$，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，m=3，则k=6，反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．
点C′（3，2）；B′（6，1）．
设直线C′B′的解析式为y=ax+b，把C′、B′两点坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=2}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$
∴解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴直线C′B′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3；
（3）在y=-$\frac{1}{3}$x+3中令x=0，解得y=3．则G的坐标是（0，3）．
C的坐标是（-3，2）．
当CG是平行四边形的对角线时，CG的中点的坐标是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
设M的坐标是（m，0），则P的坐标是（-3-m，5）．
把（-3-m，5）代入y=$\frac{6}{x}$得5（-3-m）=6，
解得：m=$\frac{21}{5}$，则M的坐标是（-$\frac{21}{5}$，0）；
当CG是平行四边形的一边时，C平移到G是向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度．
设M的坐标是（m，0），
则GCMP是平行四边形时，P的坐标是（m+3，1），
代入y=$\frac{6}{x}$得m+3=6，解得：m=3，即M的坐标是（3，0）；
当是平行四边形GCPM时，P的坐标是（m-3，-1），代入y=$\frac{6}{x}$得-（m-3）=6，
解得：m=-3，则M的坐标是（-3，0）．
总之，M的坐标是（-$\frac{21}{5}$，0）或（3，0）或（-3，0）．

点评 本题考查了反比例函数的性质以及平行四边形的判定方法的综合应用，正确对平行四边形进行讨论是关键．