Question

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm²），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，
（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S_△ABC-S_△BPE-S_△QCE即可求解，
（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．

解答：（1）解：AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8-t，
t的取值范围是：0≤t≤5；

（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=

4

5

，PB=10-2t，EB=6-t，
∴PG=PBSinB=

4

5

（10-2t）
∴y=S_△ABC-S_△PBE-S_△QCE=

1 2 ×6×8- 1 2 (6-t)× 4 5 (10-2t)- 1 2 t2

=-

13

10

t2+

44

5

t=-

13

10

(t-

44

13

)2+

968

65

∴当t=

44

13

（在0≤t≤5内），y有最大值，y_最大值=

968

65

（cm²）

（3）若AP=AQ，则有2t=8-t解得：t=

8

3

（s）
若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=

8-t

2

，PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴

AP

AH

=

AB

AC

，
即

2t

8-t 2

=

10

8

，
解得：t=

40

21

（s）
若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=

1

2

AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴

AI

AQ

=

AC

AB

即

t

8-t

=

8

10

，
解得：t=

32

9

（s）
综上所述，当t=

8

3

或

40

21

或

32

9

时，△APQ是等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．