Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．
（1）若AC=1，BC=

2

．求证：AD²+CF²=BE²；
（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a²+b²=c²的3个正整数a、b、c称为勾股数．）

Answer 1

考点：勾股定理,勾股数

专题：

分析：（1）连接FD，根据三角形中线的定义求出CD、CE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FD=

1

2

AC，然后分别利用勾股定理列式求出AD²、CF²、BE²即可得证；
（2）设两直角边分别为a、b，根据（1）的思路求出AD²、CF²、BE²，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．

解答：（1）证明：如图，连接FD，
∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，
∴CD=

1

2

BC=

2

2

，CE=

1

2

AC=

1

2

，
FD=

1

2

AC=

1

2

，
由勾股定理得，AD²=AC²+CD²=1²+（

2

2

）²=

3

2

，
CF²=CD²+FD²=（

2

2

）²+（

1

2

）²=

3

4

，
BE²=BC²+CE²=（

2

）²+（

1

2

）²=

9

4

，
∵

3

2

+

3

4

=

9

4

，
∴AD²+CF²=BE²；

（2）解：设两直角边分别为a、b，
∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，
∴CD=

1

2

a，CE=

1

2

b，
FD=

1

2

AC=

1

2

a，
由勾股定理得，AD²=AC²+CD²=b²+（

1

2

a）²=

1

4

a²+b²，
CF²=CD²+FD²=（

1

2

a）²+（

1

2

b）²=

1

4

a²+

1

4

b²，
BE²=BC²+CE²=a²+（

1

2

b）²=a²+

1

4

b²，
∵AD²+CF²=BE²，
∴

1

4

a²+b²+

1

4

a²+

1

4

b²=a²+

1

4

b²，
整理得，a²=2b²，
∴AD=

6

2

b，
CF=

3

2

b，
BE=

3

2

b，
∴CF：AD：BE=1：

2

：

3

，
∵没有整数是

2

和

3

的倍数，
∴不存在这样的Rt△ABC．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，用两条直角边分别表示出三条中线的平方是解题的关键，也是本题的难点．