Question

18．已知：如图△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．请证明：
（1）△CBD≌△CAE；
（2）∠ADB=90°．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，于是得到2AC²=AB²，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，求得∠ACE=∠BCD．根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=BD，∠E=∠BDC．求得∠BDC=45°，于是得到∠BDC+∠ADC=90°，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAE；


（2）∵△CBD≌△CAE，
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．