Question

14．如图，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=$\frac{2}{3}$r（r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求证：EF•EC=r²．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶角相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；
（2）由$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判断△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC=$\frac{4}{9}$r²．

解答 （1）证明：如图1，连结OC、OE，OE交AB于H，
∵E是弧AB的中点，
∴OE⊥AB．
∴∠EHF=90°．
∴∠HEF+∠HFE=90°．
∵∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°．
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF．
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC．
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°．
∴OC⊥CD．
∴直线DC与⊙O相切．
（2）证明：连结BC，
∵E是弧AB的中点，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$．
∴∠ABE=∠BCE．
∵∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB．
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC=BE²=（$\frac{2}{3}$r）²=$\frac{4}{9}$r²．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；利用相似三角形的知识解决有关线段等积的问题．